概要

カルマンフィルタは簡単なトピックです。しかし、世の中にある多くのチュートリアルは理解することが容易ではありません。そのチュートリアルのほとんどは、広範な数学的背景を必要とするため、理解することが難しく感じます。また、ほとんどの場合、実用的な数値例がありません。

そこで私は、数値例をもとに、簡単で直感的に理解できるように解説するチュートリアルを書くことにしました。

いくつかの例は、カルマンフィルタが広く使われているレーダーの世界からのものです（主にターゲット追跡）。しかし、ここで紹介する原理は、推定や予測が必要とされる、ありとあらゆる分野に応用することができます。

チュートリアルは3つのパートから構成されています。

• Part 1 – カルマンフィルタの入門編。このパートでは、8つの数値例に基づいて説明します。事前の数学的知識は必要ありません。平均、分散、標準偏差などの、必要な数学的背景はすべてチュートリアルの中で説明されます。「サルでもわかるカルマンフィルタ（The Kalman Filter for Dummies）」と呼んでもよいでしょう。最初の部分を読めば、カルマンフィルターの概念を理解し、「カルマンフィルターの勘」を養うことができます。また、1次元のカルマンフィルタを設計することができるようになります。
• Part 2 – 多次元カルマンフィルタ（行列表記のカルマンフィルタ）。これは少し高度な話です。現実のカルマンフィルタの実装のほとんどは多次元であり、線形代数の基礎知識（行列演算のみ）が必要です。しかし、必要な数学的背景はチュートリアルで提供されています。カルマンフィルタの数学的な導出と動的システムのモデリングも含まれています。 Part 2 を読めば、カルマンフィルタの背後にある数学が理解できるようになるでしょう。また、多次元カルマンフィルタを設計することができるようになります。
• Part 3 – 高度なトピックを紹介します。このパートは上級者向けで、主に統計学の分野での数学的素養が必要です。現在、このパートは企画中です。Extended Kalman Filter、Unscented Kalman Filter、Kalman Filter implementation in different real-life applicationsなどを含む予定です。

カルマンフィルタの説明に入る前に、まず予測アルゴリズムの必要性について理解しましょう。

例として、レーダーによる追跡アルゴリズムを考えます。

追尾レーダーは、目標の方向にペンシルビームを発射します。ここで、追跡周期を5秒とします。つまり、5秒ごとにレーダーは目標の方向に追跡ビームを発射し、目標を捉えます。

ビームを発射した後、レーダーは現在のターゲットの位置と速度を推定します。また、次の追跡ビーム時のターゲットの位置も推定（予測）します。

将来のターゲットの位置は、ニュートンの運動方程式を用いて簡単に計算することができます。

3次元では、ニュートンの運動方程式は連立方程式として記述することができます。

ターゲットのパラメータ \( \left[ x, y, z, v_{x},v_{y},v_{z},a_{x},a_{y},a_{z} \right] \) はシステムの状態量と呼ばれます。

上記の式を動的モデル(または状態空間モデル)と呼びます。動的モデルは、入力と出力の関係を表します。

話を例に戻しましょう。見ての通り、現在の状態と動的モデルが分かっていれば、次のターゲットの状態は簡単に予測することができます。

とはいうものの、実際はそんなにうまくはいきません。まず、レーダーによる測定は正確なものではありません。ランダムな誤差（不確実性）を必ず含んでいます。誤差の大きさは、レーダー校正、ビーム幅、反射波の強度など、多くのパラメータに依存します。測定に含まれる誤差は、観測ノイズと呼ばれます。

さらに、風や空気の乱れ、パイロットの操縦などの外的要因によって、ターゲットの動きは厳密には上記の運動方程式と一致しません。このような動的なモデルの誤差（あるいは不確かさ）はプロセスノイズと呼ばれます。

観測ノイズやプロセスノイズの影響によって、推定されたターゲットの位置が実際の位置から大きく外れることがあります。この場合、レーダーは誤った方向にビームを発射し、ターゲットを見逃してしまう可能性があります。

そのため、レーダーの追尾性能を向上させるためには、モデルの不確かさと観測の不確かさを考慮した予測アルゴリズムが必要となります。

そこで、最も広く使われている予測アルゴリズムが、カルマンフィルタ です。