Ya sabemos qué es una variable aleatoria y qué es el valor esperado (o esperanza). De ser necesario, lea la página Revisión De Conceptos.
La notación que utilizaremos para la esperanza es la letra mayúscula \( E \).
La esperanza de una variable aleatoria \( E(X) \) es igual a la media de la variable aleatoria:
Aquí se muestran algunas reglas básicas de la esperanza:
| Regla | Notas | |
|---|---|---|
| 1 | \( E(X) = \mu_{X} = \Sigma xp(x) \) | \( p(x) \) es la probabilidad de \( x \) (caso discreto) |
| 2 | \( E(a) = a \) | \( a \) constante |
| 3 | \( E(aX) = aE(X) \) | \( a \) constante |
| 4 | \( E(a \pm X) = a \pm E(X) \) | \( a \) constante |
| 5 | \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) | \( a \) y \( b \) constante |
| 6 | \( E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y) \) | \( Y \) es otra variable aleatoria |
| 7 | \( E(XY) = E(X)E(Y) \) | Si \( X \) e \( Y \) son independientes |
Todas las reglas son bastante sencillas y no necesitan ser probadas.
Puede demostrarse que la varianza \( V(X) \) está dada por:
Demostración:
| Notas | |
|---|---|
| \( V(X) = \sigma_{X}^2 = E((X - \mu_{X})^2) = \) | Definición de varianza para una variable aleatoria \( X \) |
| \( E(X^2 -2X\mu_{X} + \mu_{X}^2) = \) | Propago el cuadrado |
| \( E(X^2) - E(2X\mu_{X}) + E(\mu_{X}^2) = \) | Aplicar regla número 5: \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + E(\mu_{X}^2) = \) | Aplicar regla número 3: \( E(aX) = aE(X) \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + \mu_{X}^2 = \) | Aplicar regla número 2: \( E(a) = a \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}\mu_{X} + \mu_{X}^2 = \) | Aplicar regla número 1: \( E(X) = \mu_{X} \) |
| \( E(X^2) - \mu_{X}^2 \) | Como queríamos demostrar |
La varianza de la posición de un cuerpo en movimiento, en términos de velocidad y tiempo está dada por:
| \( x \) | es la posición del cuerpo |
| \( v \) | es la velocidad del cuerpo |
| \( \Delta(t) \) | es el intervalo de tiempo |
Demostración:
| Notas | |
|---|---|
| \( V(x) = \sigma_{x}^2 = E(x^2) - \mu_{x}^2 = \) | Obtenido del punto anterior |
| \( E((v\Delta t)^2) - (\mu_{v}\Delta t)^2 = \) | Expresa la varianza de la posición del cuerpo en términos de tiempo y velocidad: \( x = \Delta tv \) |
| \( E(v^{2}\Delta t^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} = \) | |
| \( \Delta t^{2}E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} = \) | Aplicar regla número 3: \( E(aX) = aE(X) \) |
| \( \Delta t^{2}(E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}) = \) | |
| \( \Delta t^{2}V(v) \) | Que es el resultado de la varianza: \(V(X) = E(X^2) - \mu_{X}^2 \) |