Obtención de la varianza a través de las propiedades de la esperanza
Ya sabemos qué es una variable aleatoria y qué es el valor esperado (o esperanza). De ser necesario, lea la página Revisión De Conceptos.
Reglas de la esperanza
La notación que utilizaremos para la esperanza es la letra mayúscula \( E \).
La esperanza de una variable aleatoria \( E(X) \) es igual a la media de la variable aleatoria:
Aquí se muestran algunas reglas básicas de la esperanza:
| Regla | Notas | |
|---|---|---|
| 1 | \( E(X) = \mu_{X} = \Sigma xp(x) \) | \( p(x) \) es la probabilidad de \( x \) (caso discreto) |
| 2 | \( E(a) = a \) | \( a \) constante |
| 3 | \( E(aX) = aE(X) \) | \( a \) constante |
| 4 | \( E(a \pm X) = a \pm E(X) \) | \( a \) constante |
| 5 | \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) | \( a \) y \( b \) constante |
| 6 | \( E(X \pm Y) = E(X) \pm E(Y) \) | \( Y \) es otra variable aleatoria |
| 7 | \( E(XY) = E(X)E(Y) \) | Si \( X \) e \( Y \) son independientes |
Todas las reglas son bastante sencillas y no necesitan ser probadas.
Obtención de la Varianza a través de las propiedades de la esperanza
Puede demostrarse que la varianza \( V(X) \) está dada por:
Con \( X \) variable aleatoria.
Demostración:
| Notas | |
|---|---|
| \( V(X) = \sigma_{X}^2 = E((X - \mu_{X})^2) = \) | Definición de varianza para una variable aleatoria \( X \) |
| \( E(X^2 -2X\mu_{X} + \mu_{X}^2) = \) | Propago el cuadrado |
| \( E(X^2) - E(2X\mu_{X}) + E(\mu_{X}^2) = \) | Aplicar regla número 5: \( E(a \pm bX) = a \pm bE(X) \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + E(\mu_{X}^2) = \) | Aplicar regla número 3: \( E(aX) = aE(X) \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}E(X) + \mu_{X}^2 = \) | Aplicar regla número 2: \( E(a) = a \) |
| \( E(X^2) - 2\mu_{X}\mu_{X} + \mu_{X}^2 = \) | Aplicar regla número 1: \( E(X) = \mu_{X} \) |
| \( E(X^2) - \mu_{X}^2 \) | Como queríamos demostrar |
Varianza de la posición de un cuerpo en movimiento
La varianza de la posición de un cuerpo en movimiento, en términos de velocidad y tiempo está dada por:
| \( x \) | es la posición del cuerpo |
| \( v \) | es la velocidad del cuerpo |
| \( \Delta(t) \) | es el intervalo de tiempo |
Demostración:
| Notas | |
|---|---|
| \( V(x) = \sigma_{x}^2 = E(x^2) - \mu_{x}^2 = \) | Obtenido del punto anterior |
| \( E((v\Delta t)^2) - (\mu_{v}\Delta t)^2 = \) | Expresa la varianza de la posición del cuerpo en términos de tiempo y velocidad: \( x = \Delta tv \) |
| \( E(v^{2}\Delta t^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} = \) | |
| \( \Delta t^{2}E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}\Delta t^{2} = \) | Aplicar regla número 3: \( E(aX) = aE(X) \) |
| \( \Delta t^{2}(E(v^{2}) - \mu_{v}^{2}) = \) | |
| \( \Delta t^{2}V(v) \) | Que es el resultado de la varianza: \(V(X) = E(X^2) - \mu_{X}^2 \) |