测量方程

截至目前，我们已经讲述了预测部分的算法，即两个卡尔曼滤波预测方程：

• 状态外插方程
• 协方差外插方程

现在开始，我们将讲述当前时刻的算法。先从测量方程开始。

在“一维卡尔曼滤波”一章中，我们把测量值记为 \( z_{n} \).

测量值表示一个真实系统状态值和测量设备引入的随机测量噪声 \( v_{n} \) 的叠加。

测量噪声方差 \( r_{n} \) 对每次测量可以是常量 - 比如，精度为0.5kg的秤（标准差）。另一方面方差也可能是变化的 - 例如一个0.5%精度的温度计，其测量噪声方差依赖于当前的测量值（越大越不准）。

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矩阵形式的一般情况测量方程如下：

观测矩阵 \( \boldsymbol{H} \)

在许多场景中，测量值不是希望获取的系统状态。例如一个数字电子温度计测量到是电流，而系统状态是温度，这隐含了一个从系统状态（输入）到测量值（输出）的变换。

观测矩阵 \( \boldsymbol{H} \) 的意义就是以线性变换的形式，将系统状态变换到测量输出。后面章节会涉及到观测矩阵的使用。

比例

测距仪向目标发射一个信号并接收对应的回波，测量值是发送和接收之间的时间差，系统状态是距离。

这个场景中，我们需要对状态做比例运算（乘以系数）：

\[ \boldsymbol{z}_{n} = \left[ \begin{matrix} \frac{2}{c}\\ \end{matrix} \right] \boldsymbol{x}_{n} + \boldsymbol{v}_{n} \]

\[ \boldsymbol{H} = \left[ \begin{matrix} \frac{2}{c}\\ \end{matrix} \right] \]

式中：

\( c \) 是光速

\( \boldsymbol{x}_{n} \) 是距离

\( \boldsymbol{z}_{n} \) 是测量的时间差

状态选择

有时只有部分状态可被测量（能观测），而其余的不行。例如下面例子中，第1、3、5个状态是可观的，而第2、4个状态不可观：

\[ \boldsymbol{z}_{n} = \boldsymbol{Hx}_{n} + \boldsymbol{v}_{n} = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\\ {x}_{4}\\ {x}_{5}\\ \end{matrix} \right] + \boldsymbol{v}_{n} = \left[ \begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{3}\\ {x}_{5}\\ \end{matrix} \right] + \boldsymbol{v}_{n} \]

状态组合

有时只能测量部分状态的组合，而不能单独测量每一个状态。例如，一个三角形的三边长是系统状态，但只有其周长可以被测量：

\[ \boldsymbol{z}_{n} = \boldsymbol{Hx}_{n} + \boldsymbol{v}_{n} = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} {x}_{1}\\ {x}_{2}\\ {x}_{3}\\ \end{matrix} \right] + \boldsymbol{v}_{n} = ({x}_{1} + {x}_{2} + {x}_{3}) + \boldsymbol{v}_{n} \]

测量方程的维度

下表明确了测量方程中各个量的维度：